已知∣a∣<1,∣b∣<1,求证:∣a+b∣+∣a-b∣<2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 11:05:55

联系三角函数，令a=sinθ(-PI/2 <θ<PI/2),b=cosa(-PI/2<a<PI/2),则
∣a+b∣+∣a-b∣=|sinθ+cosa|+|sinθ-cosa|
当且仅当a=θ=PI/4时，sinθ=cosa，此时上式=2sinθ=根号2
当sinθ>cosa时，上式=2sinθ考虑到余弦函数的有界性，-2<2sinθ<2,所以:|2sinθ|<2,
∣a+b∣+∣a-b∣<2;
当sinθ<cosa时，同理上式成立。
综上所述：当∣a∣<1,∣b∣<1时，∣a+b∣+∣a-b∣<2。

(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)
a^2<1 b^2<1
so 结论成立

(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)
a^2<1 b^2<1